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函数凹凸性研究

函数凹凸性研究   曾几何时,被一个问题深深的困扰着,就是函数的凹凸性,究竟是如何定义的,有些不同的出版社会得到不同的结论(截然相反),数学难道真的与经济学是相悖的吗,我个人认为其实不然,下面就是我对这种现象的剖析,理解与建议。 

   首先,要明白几个比较重要的概念,凸集,凸性,凹性,拟凸性,拟凹性。 

前提是我们所要考察的集合,大家切记要把它放在一个n维空间来讨论,即R-- Rn  

我们下面的相关定义是引自于中国比较权威的(数学辞海第五卷),以下略有简略; 

ⅰ 凸集;(一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中) 

ⅱ 凸性   f(tx+(1-t)y)<= tf(x) +(1-t)f(y) 

ⅲ 凹性   f(tx+(1-t)y)>= tf(x) +(1-t)f(y) 

ⅳ 拟凸性   设函数f: R--Rn 定义集合{x --Rn |f(x) >=a }为函数的上轮廓集。集合{x属于Rn |f(x)=a }为函数的水平集。如果对于所有的实数a,函数f(x)的上轮廓集都是凸集,则称函数f(x)是拟凹函数。 

ⅴ 拟凹性   如果—f(x)是拟凹函数,那么f(x)为拟凸函数 

而在我们的微积分教材中(刘书田),结论却是相反的,图形如下  

 

  

上述结论是经过凹凸性的判断得出的,很显然它与前面(数学与数学辞海第五卷)的结论是矛盾的。我个人认为问题主要出在如下: 

1 首先如果认真研究凹性,凸性,它们都是在凸集范围内定义的,是关于凸集的性质,因此我们不难理解有些研究型的教材在定于凹性的同时,把凹性定义为上凸(复旦大学数学分析),甚至在凸性前加一负号表示凹性(高级微观经济学或者MWG) 

2认真注意,微积分上说的是曲线弧,并没有确切指出此函数,虽然有些同学会认为曲线弧相当于曲线,进而在一些既定相关假设下它就等价于曲线方程,二曲线方程就是我们所说的函数,因此相当于函数的凹凸性。在这一点上,我不太认同,我认为,从编者的角度来讲,他们的目的是针对一个集合,而言的,即是包括曲线弧以下的可能性取集,而不单单是曲线,按照拟凹性的概念不难发现,其实它们分别是拟凸与拟凹的,而拟凸是针对凹集,拟凹是针对凸集,这样来看,它们分别是凹的和凸的,希望这样理解,你会好受一些 

3经济学中的生产可能性集,是指f(X)<y,其中x代表生产要素一向量,想想生产要素的使用应该满足凸的生产技术,这里的生产技术凸指的便是生产要素而言。 

  因此我们的经济学教材的凹凸性,之所以相反我认为是考虑到了,应用到厂商理论的而考虑的,它实质上并不与数学的凹凸性相矛盾,所以在经济数学三的考试中,很少或者几乎不涉及凹凸函数的题目,我们在判断拐点左右凹凸性,仍就应该以微积分(刘书田)的为准, 

毕竟大类是 经济类 数学,限定了数学的范围,修改一些也是理所当然的。 

   总之,我的建议是应该以数学为准,全国范围内进行统一。以上是本人的一点随笔,只是个人的的理解而已。 

   谢谢,您能忍着读下来。 


本文来自: 中国经济学教育科研网论坛(http://bbs.efnchina.com) 详细出处参考:http://bbs.efnchina.com/dispbbs.asp?boardid=57&ID=407097

 

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