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[讨论]位似偏好的一些性质

扶风豪士:
 
近来与各位交流,收获颇丰。建议进一步就一些基本概念与各位交流,以互相印证。我就抛砖引玉,提出位似偏好的一些问题。

位似偏好的定义为:若x与y无差异,则ax与ay也无差异。
1、如何理解位似偏好一定可以容许一个一次齐次的效用函数(当然,如果此命题成立,那么必可以容纳一个该一次齐次函数的递增变换)?
2、如何理解位似偏好的消费者,其收入的边际效用只与收入有关,与价格无关?

以上二题,只需能令人信服的说明,当然严格数学证明更佳。


puyjan:
 
结论1是显然的。如果f(x1,x2)是一次齐次的,则对于任意的a>0,有
f(ax1,ax2)=af(x1,x2),所以,如果有f(x1,x2)=f(y1,y2,则必然有:

f(ax1,ax2)=af(x1,x2)=af(y1,y2)=f(ay1,ay2)
所以,f(ax1,ax2)=f(ay1,ay2)

结论2让我想想。
 

扶风豪士:

蒲老师可能看快了,错解了第一个问题的意思。第一个问题原题来自MWG《微观经济学》第三章的习题,原题大概如下:

某偏好为位似偏好,当且仅当该偏好能容许一个一次齐次的效用函数。

我问的是该题的必要性,而蒲老师回答的是充分性。

平常见到位似偏好就是用一次齐次的效用函数(或者其单调递增变换),但一直没注意到其与其定义的等价关系。

第二个问题来自 杰里&瑞尼 的《高级微观经济理论》第一章的习题。原题是判断对错并说明理由。

我认为可以这么判断:对于位似效用函数的任意两条无差异曲线,画任意两条从原点出发的射线,交无差异曲线于四个点,那么同一射线上两点的斜率应该相等,这也看作是价格线,那么效用的变化只与这两条无差异曲线之间直线的比例有关,而与价格无关。不知这样的“直觉”正确与否?


puyjan:
 
好,我现在证明必要性。由于我不会在这里画图,请辛苦你跟着我的文字发挥想象了。我现在证明:位似偏好的有一个效用函数(因为效用函数有无限多)是一次齐次的。
我只对于二维的商品空间进行证明,其它情形完全一样。
首先,j假设原有效用函数为f(x1,x2),给定一条无差异曲线,记为L(没有问题吧!)。那么,给定任意一个商品组合(x1,x2),必然存在一个在L上的商品组合(l1,l2)以及一个数a(x1,x2)>0使得:
(x1,x2)=a(x1,x2)(l1,l2)(没有问题吧,画一个图,结合图想想)

我现在构造一个函数F(x1,x2)=(定义为)a(x1,x2)f(l1,l2),由于l1,l2实际上也是(x1,x2)的函数,即l1=l1(x1,x2),l2=l2(x1,x2),所以有F(x1,x2)=a(x1,x2)f(l1(x1,x2),l2(x1,x2)),
然后,我下面证明F(x1,x2)是一次齐次的。
事实上,对于任意的c>0,我们有F(cx1,cx2)=F(ca(x1,x2)l1,,ca(x1,x2)l2)
=ca(x1,x2)F(l1,l2)(因为ca(x1,x2)>0,以及F的定义)
=cF(a(x1,x2)l1,a(x1,x2)l2)(再一次根据F的定义)
=cF(x1,x2)(根据l1,l2的定义),所以,F是一次齐次的。
第二步,下面证明F(x1,x2)是原来的偏好的一个效用函数:
任意给定两个商品组合X=(x1,x2)和Y=(y1,y2),我们证明f(x1,x2)>=f(y1,y2)当且仅当
F(x1,x2)>=F(y1,y2)

首先,如果有f(x1,x2)>=f(y1,y2),则f(a(x1,x2)l1(x1,x2),a(x1,x2)l2(x1,x2))>=f(a(y1,y2)l1(y1,y2),a(y1,y2)l2(y1,y2))
由于按照定义,(l1,l2)是在同一条无差异曲线上,
即lf(l1(x1,x2),l2((x1,x2))=f(l1(y1,y2),l2(y1,y2)),所以,
f(a(x1,x2)l1(x1,x2),a(x1,x2)l2(x1,x2))>=f(l1(x1,x2),l2(x1,x2))当且仅当a(x1,x2)>=1(没有问题吧!),这意味着有a(x1,x2)>=a(y1,y2),这是因为,
如果不是这样的,就有
a(x1,x2)

根据位似效用函数的定义,再根据有f(l1(x1,x2),l2(x1,x2))=f(l1(y1,y2),l2(y1,y2))( (l1,l2)是在同样的无差异曲线L上的假定),于是有
f(a(x1,x2)l1(x1,x2),a(x1,x2))l2(x1,x2))=f(a(x1,x2)l1(y1,y2),a(x1,x2)l2(y1,y2))即f(x1,x2)

a(x1,x2)>=a(y1,y2),按照F的定义,即是F(x1,x2)=a(x1,x2)f(l1(x1,x2),l2(x1,x2))
>=a(y1,y2)f(l1(y1,y2),l2(y1,y2))(注意(l1,l2)总是在同样的一条无差异曲线上)
=F(y1,y2)(这一步是F的定义),
这说明在f(x1,x2)>=f(y1,y2)时,就有F(x1,x2)>=F(y1,y2),
相反,同样的方法不难证明当f(x1,x2)即f与F刻画了同样一个偏好,它们都是同样一个偏好的效用函数。但是,F是一齐次的。
注意,我们的证明只是说明位似偏好的消费者有一个效用函数是一次齐次的,并不是说位似偏好的所有效用函数都是一次齐次的。显然,由于效用函数的严格增函数的复合函数也是效用函数,而一次齐次效用函数的严格增函数的复合函数不一定是一次齐次的。所以,你说的那本书上说的意思应该这样理解——即位似偏好的效用可以用一个一次齐次函数刻画(但是不能理解为必然是一次齐次的,因为我已经说明这是不可能的)。

关于第二个问题,在前面的基础上,我的直观应该是比较简单的了。不过,我现在是在晚上12点给你回答问题,还没有洗澡。我明天要与香港大学经济金融学院(我现在在这里工作)的同事一大早就要去爬山。所以,我要休息了。明天晚上回来后再回答第二个问题(如果我想好了答案的话)


puyjan:

楼主:

你的第二个问题是错误的,就是说是不成立的。举个反例:l令效用函数为F(x1,x2)=x1x2开平方(嘿嘿,打不出开平方的数学符号)。这是一个一次齐次的效用函数,我在2楼已经证明,这样的效用函数一定是位似偏好的。但是,你计算一下,恰恰相反,它的收入的边际效用只与价格有关,而与收入无关。嘿,这还不是偶然的呢!我下面证明它是一般的结论——即位似偏好的一次齐次效用函数F(x1,x2)的边际效用一定是与收入无关的。

证明:假设收入为M,x1,x2的价格分别为p1,p2,MM为收入的边际效用。则在消费者均衡时有:(dF/dx1)/p1=(dF/dx2)/p2=(令)c(与x1,x2无关的常数)

先证明一个结果是:
(dF/dx1)/p1=(dF/dx2)/p2=MM
因为MM=dF/dM
=(dF/dx1)(dx1/dM)+(dF/dx2)(dx2/dM) (1)
由预算约束条件:
p1x1+p2x2=M
两边对于M求导:p1(dx1/dM)+p2(dx2/dM)=1
又因为:dF/dx1=p1c,dF/dx2=p2c,
代入(1)得到:MM=c=(dF/dx1)/p1=(dF/dx2)/p2
于是有:MM=c
因为F(x1,x2)是一次齐次的,所以有:

F(aX1,ax2)=aF(x1,x2),其中a>0是任意的实数。两边对于a求导,然后令a=1,得到:

x1dF(x1,x2)/dx1+x2dF(x1,x2)/dx2=F(x1,x2) (2)
下面证明c是与M无关的,事实上,由式(2),(3)得到:
c(p1x1+p2x2)=F(x1,x2)
即cM=F(x1,x2)
l两边对于M求导:(de/dM)M+c=dF/dM=(根据定义)c
因为M>0,故 dc/dM=0
于是c与M无关。


puyjan:

我在楼上有几个限定词打掉了。第二个问题我证明的结论是——位似偏好的一次齐次效用函数F(x1,x2)的边际效用一定是与收入无关的。
 

扶风豪士:

非常感谢蒲老师,占用了您许多宝贵时间,而且让您将同一件东西上传了很多次,更是让我不安了。有时候系统上传可能有些滞后,并不是您发帖的方法有问题。

正在拜读您的解答……

来源:http://bbs.efnchina.com/dispbbs.asp?BoardID=92507&id=45088

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