一、哈罗德-多马经济增长模型
（一）哈罗德-多马经济增长理论以及基本方程式
现代西方经济学中，把经济增长作为一个独立的领域，是从英国经济学家哈罗德（R.F.Harrod）和美国经济学家多马（E.Domar）开始的。哈罗德1939年发表《论动态理论》一文，试图把凯恩斯采用的短期静态均衡分析所提出的国民收入决定理论长期化和动态化，并于1948年出版了《动态经济学》一书。在同一时期，多马也进行了类似的研究，完全独立地提出了与哈罗德基本一致的经济增长模型。
哈罗德经济增长模型有如下基本假设：1、社会只生产一种产品。2、社会生产只使用资本K与劳动L两种生产要素。3、在经济增长过程中资本-劳动比率保持不变，从而资本-产出比也保持不变。4、不存在技术进步，规模报酬不变。5、资本存量没有折旧。
按照凯恩斯的理论，只有当I=S时，也就是说在投资能够吸全部储蓄时，经济活动才能够达到均衡状态。从投资方面看，依照假定，社会的资本存量K与国民收入Y之间存在着固定的比例v=K/Y。v为常数，它代表1单位产量（收入）所需要的资本存量，即K=vY。
在技术不变的假设下，资本-产出比与边际资本-产量比相等，即
△K=v△Y (1.1)
又因为假定不存在折旧,资本增量△K等于投资I,即△K=I,因此式（1.1）可以写成
I=v△Y (1.2)
储蓄方面看,依照凯恩斯理论,有
S=sY (1.3)
式中，S为储蓄，s代表边际储蓄倾向。因此，根据式（1.2）和式（1.3），实现I=S的经济均衡增长条件为
v△Y= sY （1.4）
令经济增长率G=△Y/Y，式（1.4）可以写成
G=△Y/Y=s/v （1.5）
式（1.5）称为哈罗德经济增长理论基本方程式。该模型的基本经济含义是，要实现均衡的经济增长，国民收入增长率G就必须等于社会储蓄率s与资本-产出比v之比。
（二）哈罗德-多马经济增长模型中的经济增长论述
什么样的储蓄率与资本产出比才是最理想的？理想的储蓄率与资本-产出比与实际情况一致吗？在劳动力和技术都发生变动的情况下经济增长如何？对此，哈罗德用有保证的增长率、实际增长率和自然增长率三个概念来说明经济长期稳定增长的条件及其波动原因。
哈罗德将均衡经济增长率称为有保证的经济增长率（warranted rate of growth）.满足有保证的经济增长率（Gw）的sw 称为合意的(desired)储蓄率，vw称为合意的资本-产出比。有保证的增长率可以用公式表示为
Gw=sw/vw (1.6)
哈罗德假定合意的储蓄率sw总是会实现的。因此，合意的储蓄率总是等于实际储蓄率。这意味着储蓄是重心，如果要保持长期的经济增长，投资量必须按储蓄量进行调整。资本-产出比（v=I/△Y）表明产量水平的改变将要引致的投资量。这是一种技术经济关系，它说明一国经济中，为保障经济增长而引风致的投资需求。在哈罗德看来，一国经济要实现稳定增长，其经济增长率必须能使预期的投资等于预期的储蓄。只有这样，产量的增长才能引资足够的投资，以吸收本期的储蓄。如果这种情况实现了，哈罗德就称这种增长率为有保证的增长率。
实际增长率是指社会经济实际达到的增长率，即事后的增长率，可以用公式表示为
G=s/v （1.7）
式中，是实际的或事后的增长率，s是实际储蓄率(哈罗德假定它总是和预期的储蓄率一样)，v是实际投资与实际收入增量之比。可见，该公式只是实际储蓄率与实际投资恒等的另一种表述法。
自然增长率是指在人口和技术都发生变动情况下，社会所允许达到的最大增长率，可以用公式表示为
Gn=sn/vw (1.8)
式中，Gn表示自然增长率，sn表示社会出最适合储蓄率，vw 表示合意的资本-产出比。哈罗德认为，Gn是由劳动人口增长和技术进步所决定的。如果假定技术条件不变，只考虑人口和劳动力的增长，则Gn即是人口和劳动力增长率。
按照哈罗德的说法，假定一国经济开始就处于充分就业状态，如果要实现经济稳定增长，就必须满足
G = Gw = Gn （1.9）
但是哈罗德认为，G与Gw 、Gw 与Gn 并没有内在联系，还它们往往是不等的。一旦两者不等，就会差距越来越大，无法调整到均衡状态，不是造成长期通货膨胀就是造成长期经济停滞。
在实际增长率G与有保证的增长率Gw不相等时，会出现两种结果：（1）实际增长率大于有保证的增长率，即G＞Gw 。若假定合意的储蓄率sw与实际储蓄率s一致，则v＜vw。这就意味着预计（或计划）投资大于实际投资（实现的），总需求大于总供给。企业为了弥补资本供给不足，就要增加订货，扩大投资。这样就会导致收入和需求量进一步增加；反过来又刺激投资再度扩大，使一国经济处于通货膨胀状态之中。（2）实际增长率小于有保证的增长率，即G＜Gw。 若合意储蓄率与实际储蓄率一致，则v＞vw。则意味着实际投资超过了预计投资，总供给大于总需求，存货增加，生产能力过剩，一国经济处于停滞状态之中。
在自然增长率Gn和有保证的增长率Gw不相等时，也有两种结果：（1）Gn＜Gw。由于Gn是G的最高限度，在Gn＞Gw时会出现劳动力短缺，机器设备不能充分利用，生产能力过剩，从而投资于产量减少，一国经济处于长期停滞。（2）Gn＞Gw。在这种情况下，实际投资小于预计投资，劳动力充裕，刺激了投资和生产扩张，使一国经济处于长期通货膨胀中。
二、哈罗德-多马经济增长模型的简要评价
（一）哈罗德-多马经济增长模型的成就
哈罗德经济增长模型以凯恩斯理论为基础，把凯恩斯采用的短期静态均衡分析所提出的国民收入决定理论长期化和动态化了，具体如下：
1、哈罗德、多马的长期的动态的分析方法。哈罗德、多马把凯恩斯的储蓄等与投资的均衡公式加以动态化，得出了它们的经济增长模型。正是因为动态的分析方法考虑的时间的影响，才使得他们的理论较之凯恩斯的国民收入的决定理论更具有说服力以及应用价值。在经济研究中，这种长期的动态的分析是不可缺少的。
2、在凯恩斯国民收入决定理论中只是强调了有效需求，而忽略了供给方面的问题。哈罗德在分析经济增长时注意到了这个问题，因此，他在考虑投资增加社会总需求的同时，还阐明的投资增加供给的一方面，从而从需求和供给两方面完善了他们理论。
（二）哈罗德-多马经济增长模型的不稳定性与不现实性
哈罗德多马经济增长模型在论述经济稳定增时定义了实际增长率G、合意增长率Gw、自然增长率Gn三个概念，并以此定义了经济稳定增长的条件：G=Gw=Gn。但是，也正是由于这一论述，使得哈罗德-多马经济增长模型成为了一个不稳定、不现实的模型。G、Gw和Gn初始均衡状态的细微背离，都会导致经济增长越来越远离均衡状态，而且不存在一个内在的力量使经济恢复均衡。同时，由于假定资本与劳动力在生产中是按固定比例使用的，与非劳动力的增长率等于储蓄率与资本-产出率之比，就不可能达到劳动力和资本要素充分利用的长期稳定增长。因此，该模型所提出的长期增长被称作一条“刀刃式”的途径，并不现实。实际上，这一论述不稳定与不现实的关键在于：哈罗德在论述经济增长时，用一个明确的、固定的值来限定G值，并以此为基础来“定量”v值，这样不仅使经济增长率G失去了稳定波动的性质从而显得不稳定与不现实，并且，也正是因为这一“固定期望值”①的限定，使得哈罗德-多马模型所定义的条件成为一条“刀刃”，同时，该论述在逻辑上似乎也反向了，应该用v值来定量分析G值，因为等式是G=s/v。
三、脱胎于哈罗德-多马经济增长模型的v值经济增长理论以及v值对经济增长影响的探析
上文对哈罗德多马经济增长模型作了简要的论述与评价，其目的是使读者能够了解哈罗德多马经济增长理论，下文将针对哈罗德多马经济增长模型中的缺陷，特别是集中体现其不稳定型与不现实性的关于经济增长的论述提出一个新理论——v值经济增长理论，同时论述v值对经济增长的影响。
(一)从哈罗德-多马经济增长模型出发引出v值经济增长模型
哈罗德-多马模型的不稳定性与不现实性，使得哈罗德-多马模型的应用受到了很大的限制。在仔细分析了该模型后我得出了的几点新的不成熟的认识。
首先再让我们简单回顾一下哈罗德多马经济增长模型。模型的基本假设是：1、社会只生产一种产品。2、社会生产只使用资本K与劳动L两种生产要素。3、在经济增长过程中资本-劳动比率保持不变，从而资本-产出比也保持不变。4、不存在技术进步，规模报酬不变。5、资本存量没有折旧。模型的简单推导过程是：由社会的资本存量K与国民收入Y之间存在着固定比例。得到的等式v=K/Y，进而得：v=△K/△Y即△K=v△Y，为了引入Y，从而构造G=△Y/Y，哈罗德多马引入了S=sY，利用I=S作中介，从而成功得到等式△Y/Y=s/v。
现在，让我们放开一些哈罗德多马经济增长模型的假设，从而使社会生产更加真实，同时，我们也将定义一些将要介绍的新理论所要求的条件：1、社会生产各种产品，所有的产品泛称为“产出”。2、社会生产使用各种生产要素，但所有生产要素都资本化，或者说所有生产要素都泛称为“资本”。3、经济增长过程中资本劳动比，资本产出比可变。4、可以存在技术进步。5、可以有折旧。
借鉴哈罗德多马经济增长模型的推导方法，我们有v=K/Y，进而得：v=△K/△Y即△K=v△Y，同样为了引入Yt-1，从而构造G=△Y/Yt-1，我们也引入S，但是，为了使模型更加真实，我们不定义I=S，因为在一般情况下I是不等于S的，于是，我们只定义一个a,他表示储蓄转化为投资的比例。由于I≠S，这里就出现了一个问题，S变成了一个存量,一个表示历年来储蓄之和的存量。那么,我们如何再通过S引如Yt-1，从而构造Gt=△Y/Yt-1呢？我是这样处理的：
产出、储蓄、投资相互关系表
时期 产出（Y） 储蓄（S） 投资(I,S)
t Yt=Yt-1(1+Gt) St=Ytst+St-1(1-at-1) It=Stat
t-1 Yt-1= Yt-1 St-1=Yt-1st-1+St-2(1-at-2) It-3=St-1a t-1
t-2 Yt-2=Yt-1/(1+Gt-2) St-2=Yt-2st-2+St-3(1-at-3) It-2=St-2a t-2
t-3 Yt-3=Yt-1/(1+Gt-2)(1+Gt-3) St-3=Yt-3st-3+St-4(1-at-4) It-3=St-3a t-3
… … … …
3 Y3=Yt-1/(1+Gt-2)…(1+G3) S3=Y3s3+S2(1-a2) I3=S3a3
2 Y2=Yt-1/(1+Gt-2)…(1+G2) S2=Y2s2+S1(1-a1) I2=S2a2
1 Y1=Yt-1/(1+Gt-2)…(1+G1) S1=Y1s1 I1=S1a1
注:表中的G表示经济增长率，s表示边际储蓄倾向，a表示储蓄转化为投资的系数。
用产出（Yt-1）表示出储蓄（St）再表示出投资（It），最终，我们可以得到I与Yt-1的关系,假设I=Yt-1(b+cGt),其中(b+cGt)表示Yt-1关于I的系数的和函数。于是我们可以得到等式：v△Y=Yt-1(b+cGt)，Gt=△Y/ Yt-1=(b+cGt)/v，Gt=b/（v-c）。其中b、c可以通过a1…at ,s1…st计算表示得到②。
a、s、v三者共同决定G。其中，s在一般情况下是既定不变的,a的影响因素主要有:经济周期、预期收益、投资热情、经济产业结构等等许多因素，但是这些都不是本文的重点。我要论述的重点是v。这里请允许我给v一个新名称“温床系数”，为什么要这么定义呢？我们看到这样一个等式v=K/Y，K为资本存量，Y为产出，如果把K看作是一个不断孕育产出Y的“温床”，我们似乎可以看到这样一个画面：整个社会总资本K（包括人力资本、物力资本以及其他各种资本）不断地孕育创造出产出Y，产出的一部分被消耗，另一部分补充进“温床”，这部分有两个去向：（1）供给“温床”运作消耗（2）成为“温床”的一部分，使“温床”不断壮大。社会生产于是生生不息，不断地生长壮大。在这里，v其实就可以看成是衡量资本存量K这个“温床”孕育产出能力大小的值，它表示在一定的技术水平条件下生产力一单位Y所需要的资本存量，v值越小表示资本存量K的产出能力越大。同时，由等式Gt=b/（v-c），我们可以得知：v值对经济增长有重要影响，具体来说v值与经济增长成反比，v值越大，经济增长率就越小，v值越小，经济增长率就越高。
（二）影响模型中v值的主要因素
既然v值是标识资本存量K产出能力大小的值，那么K的构成对v的大小肯定会产生重要影响。从对产出的供献大小出发，我将K定义为两大类：1、生产必需项目，2、生产附加项目。其中，生产必需项目包括：社会生产所必需的技术、设备、人员、组织条件和基础设施等等，生产附加项目指：社会生产非必需的或作用不大的、可有可无的项目包括：非必需的人员、物资消耗、非必要的基础设施建设等。分类是为了界定K对v值的影响。
两类项目的比例是影响v值的重要因素之一，表现为：生产必需项目所占的比例增加，v值将减小，也就是说资本存量K的产出能力将提升。现实表现为：社会或企业实行精简节约会实现经济和效益的增长。反之，生产必需项目所占的比例减少，v值将增大，资本存量K的产出能力将降低。为了说明这一现象，我们引入“单位产出”这一概念，“单位产出”是指1单位资本存量在单位时间内的产出量。假定：生产必需项目的“单位产出”为1，生产附加项目的“单位产出”为0.5，1单位收入需要6个“单位产出”，那么，(1)当生产必需项目与生产附加项目之比为1：1时,(2) 当生产必需项目与生产附加项目之比为2:1时,生产必需项目量为x，生产附加项目量为y。
（1）则有： x+0.5y=6
x/y=1/1
可以得到： x=4 y=4 v=(4+4)/1=8
（2）则有： x+0.5y=6
x/y=2/1
可以得到：x=4.8 y=2.4 v=(2.4+4.8)/1=7.2
生产必需之项目中,如技术的提高、设备的更新、人员素质的提高等等，也是影响v值的重要因素，表现为随着技术的提高v值慢慢减小，现实表现为由于技术进步所带来的巨大经济发展。同样，为说明这一现象，我们应用上文所提到的“单位产出”这一概念，技术进步对v值的影响，表现为：技术进步会提高单位产出，从而降低v值。 借用上文假定，当生产必需项目与生产附加项目之比为1:1时，（1）技术不变，（2）技术进步，两类资本存量的“单位产出”翻倍
（1）则有： x+0.5y=6
x/y=1/1
可以得到： x=4 y=4 v=(4+4)/1=8
（2）则有： 2x+y=6
x/y=1/1
可以得到： x=2 y=2 v=(2+2)/1=4
（三）关于v值的几点定义
为了更加完善的说明v值，我定义了以下几个概念：v界限、单一v界限、理论v值、实际v值、最优v值。
v界限的界定：v界限是指在一定的技术水平下条件下，单位产出所能占用的最大资本存量值。首先我们假定：产出消耗由两部分构成，固定消耗和流动性消耗。固定消耗是指随占用的资本存量的增加而增加的消耗。流动性消耗是指随产出的增加而增加的消耗。那么，假设1单位产出的流动性消耗为0.3，1单位生产必需项目的固定消耗为0.1，1单位生产附加项目的固定消耗为0.15，两类资本存量值比为2：1，生产必需项目量为x，生产附加项目量为y。
则有： 0.1x+0.15y=1-0.3
x/y=2/1
可以得到:x=4 y=2 v=(4+2)/1=6
单一v界限的界定:单一v界限是指在一定的技术水平条件下,当资本存量全部由生产必需项目构成时的v界限。
理论v值的界定：理论v值是指在通过引入理论单位产出这一概念后，区分了在同一技术水平条件下资本存量过程中生产必需项目与生产附加项目比例变动对产出能力的影响，这种方法得到的v值即为理论v值。（见第一个计算实例）。
实际v值的界定：实际v值是指实际社会总资本存量与社会总产出的比值，他是判断社会平均产出能力大小的值。
最优v值的界定：最优v值是指在考虑各国经济社会的实际情况以及特殊国情后所确定的最适合该国社会生产以及经济增长的v值。最优v值的界定是为各国经济政策的制定提供参考。
（四）v值对经济增长的影响——经济增长方式以及经济负增长
经济增长方式，以技术条件为出发点，我将经济增长方式分为二大类：（1）在技术不变条件下的经济增长，（2）存在技术进步条件下的经济增长。在这里,为了使表述简单、清晰、明了，我假定I=S即去除S作为存量对经济的影响。
技术不变条件下经济增长是指在消除技术进步的影响后，单纯由于投资所引起的经济增长。表现为投资在扣除折旧后的投资余额，追加到社会资本存量K上，使得社会总资本存量K增大，从而产出能力提高，产出增加。
△Y=(Kt-Kt-1)/v。 （1.10）
在这一过程中，我们可以看到：投资其实来源于产出，而产出又来源于资本存量K的孕育。资本存量这一温床在不断孕育新的产出的同时，新的产出有不断地补充壮大温床，从而使温床不断生长壮大。这说明即使在不存在技术进步的条件下，社会经济实力也会不断地壮大。这种现象能够很好地描述奴隶社会特别是封建社会时期的经济增长。
存在技术进步条件下的经济增长表现为：随着技术进步，1单位K的产出增加，或者更准确地说，随着技术进步1单位产出所要求占用的资本存量K不断减少，温床的性能升级了。
△Y=K（1/vt - 1/vt-1） （1.11）
在这一过程中,我们可以看到:随着技术进步,单位资本存量特别是单位生产必需项目的单位产出增加,v值减小，社会总产出增加。这种经济增长现象，很适合描述技术革命时期出现的经济飞速发展现象。
一般情况下，这两种经济增长方式都会作用于社会经济增长，其作用大小与v的大小有直接或间接的关系。也就是说和资本存量K有直接或间接的关系。那么，我们怎么解释经济负增长这一现象呢？
这里，我引入上文所提出的v界限这一概念，当实际v值超过v界限时，投入将得不偿失，经济出现负增长。
在技术条件不变的情况下，经济负增长主要由两种原因引起：（1）生产必需项目的浪费，（2）生产附加项目的过多消费。生产必需项目的浪费表现为：生产必需项目量过大、单位产出多、在总资本存量中所占的比例大，并且伴随大量生产必需项目资本的闲置。生产附加项目的过多消费表现为：生产附加项目在总资本存量中的比重过大，造成社会生产机构过于臃肿，伴随大量不必要消费。
在存在技术进步条件下，如果技术进步引起的v值下降作用小于单位产出所占用的资本存量增加③而引起的v值上升作用，那么经济也将出现负增长。作用以解释，随着生活水平的提高，特别是西方发达国家收入的增长，对不计入国民收入的项目④的投资增加，而出现的经济增长放慢或出现经济负增长的现象。
（五）v值与经济波动
v值对经济周期的影响，是由于v值的不稳定型造成的。v值的波动表现为经济波动，或者说经济波动实际上就是v值的波动。那么，为什么v值会出现不断的波动呢？这主要是由于v值的内在联动效应引起的。表现为：v值影响经济增长，同时经济增长也影响v值，v值再影响经济增长，经济增长再影响v值，如此周而复始循环地不断地相互影响。具体来说：较低的v值会带来高速度的经济增长，从而使人们的收入增加，人们的生活水平提高，进而必然会使生产附加项目的比例增加，于是v值升高，这又必然使经济增长率降低甚至出现经济负增长现象，于是人们的收入降低，人们的生活水平下降，从而使生产附加项目的比例减小，v值下降，经济又出现高增长。当然，这一过程中必然有许多小波折，主要是由于经济波动中的“惯性因素”引起的，如：当人们的收入水平发生变动时，人们的生活水平不能及时随时变动，于是生产附加项目的比例不能及时变动，v值不能及时变动，经济增长率也不能及时变动。但是，这也必然会使波动向大方向产生“能量积累”效应，随着时间推移，即使存在“惯性因素”，积累的能量也会使经济向原本方向继续波动。经济增长将会由于它与v值的内在联动效应，而不断波动。
