Ah_sa：
问: 张五常「上河定律」有何不妥？
张五常《南窗集》:上河定律
去年十二月，上海博物馆举办一个重要的国宝展览，是集中北京故宫、辽宁博物馆与上海博物馆的珍藏。不远千里而来的雅士云集，加上上海的本地人多，排队进场要选人少时间，而进了场后欲看北宋张择端绘的《清明上河图》，又要再排队。这后队不是那样长，但动不动要排两个多小时。
那时我和太太刚好到上海几所大学讲话，躬逢其会，当然要去看看。博物馆的主事人要我们不在繁忙时间去，派一位很有礼貌的女秘书出来招呼一下，但说明观看《清明上河图》不能插队，要排两个多小时。这是说，作为贵宾，进场可以方便一点，但《上河图》则是宾不贵的。可见国内的处事有了长进。
我对书法有点研究。展出的国宝级书法，如怀素的《苦笋帖》，杜牧的《张好好诗》，米芾的《多景楼诗》，以前我见过真迹。这次令我惊喜的是南宋诗人陆游的手书诗卷，书法一流，绝不在好些名书法家之下。奔放而变化多，天真潇洒，豪气逼人。据说所用的笔是猩猩毛造的，是从当时的高丽国进口。心想，不知今天怎样才可以弄得一枝猩猩毛笔来试写一下。
回头说《清明上河图》，据说是宋徽宗委任张择端画的，画了三年，而展出的原作真迹的后一段不复存在。《上河图》原来是近四十呎的长手卷，多个世纪以来临摹之作不计其数。这次原作展出，排队两个多小时，我没有排。不排队是不能近看，但可从离画八呎左右看。《上河图》的人物多而小，离画八呎本已不善，再加上要穿过排队的观者之间的空隙看，更要再打折扣了。
我站想，人龙只有百多人，为什么要排两个多小时呢？答案是轮到观看的人看得很慢，比一般欣赏名画的慢得多。这又是为什么？灵机一动，我想通了。因为排队时间是一个价，一个代价，也可说是一项成本。
价越高——排队的时间越长——观者就多花时间欣赏了。这是说，排队的人越多，不仅等候的时间越长，每个观者轮到时所花的欣赏时间会增加。这是说，以图表曲线分析，纵轴为等候时间，横轴为排队人量，其二者的相关曲线不是直线一条，而是向右弧上：The curve is exponential。
让我再说一次。因为时间是价，价越高，每个观者的欣赏时间越长。如果六十人排队，观者平均欣赏一分钟，第六十个要等一个小时。但如果一百二十人排队，观者平均欣赏会超过一分钟，第一百二十个要等超过两小时。既然是从《清明上河图》的人龙得到启发而想出这个有趣的规律，而「上河」有逆水行舟之意（虽然清明上河不是这个意思），我称之为「上河定律」。
有两点还要澄清。其一是依照经济学的理念，历史成本不是成本（Bygones are bygones）。既然排队排了两个多小时，是历史，覆水难收，再不是成本，不是代价，为什么我说时间之价或代价高而多花时间欣赏呢？答案是观者多花时间欣赏，其考虑不是已经排队的两个多小时，而是这次不多欣赏此后再欣赏的时间成本预期也会是高的。任何人决定去看《清明上河图》，会考虑早看一点的利益与所需的时间成本才作选择，而一个人选在某时某日去参观，他选的是自己认为是利益与成本差别最大的时间。参观的迟早不论，这个人等了两个多小时，他的意识是这次已付出的成本不算，再来也差不多要排队两个多小时。因此，上河定律仍然成立。
举一个例。假若《清明上河图》持久地展出，不用排队，去观看，我欣赏一分钟。但如果我得到方便，可以不用排队欣赏，但说明只此一次，之后我要排队两个小时才能看到。这样，虽然不用排队，我的欣赏时间会超过一分钟。有关之价是可以选择的代价。不用排队，这次没有时间之价，但真正的代价是这次不多欣赏，之后要排队两个小时，所以这次我要多欣赏了。
第二点要说的，是我曾经说，超级市场的繁忙时间人龙越长，收钱的员工的动作会被迫而越快。于是，因为人龙长，每件物品的「过机」时间会较快。这与「上河定律」是相反的。但这里是多了一个收钱的员工，他的动作因为龙长而较快。与上河定律相同的，是如果一家超级市场没有设备购少物的快线的话，繁忙时间，需要排长队，购物者一般会选购较多物品。这使一个购物者的平均过机时间较长。另一方面，买一包香烟的人通常不会愿意排队等十五分钟。这也是需求定律的含意了。
是的，吃自助餐，同样的食品，每客收费五十与收费一百的食时与食量不同。收费五十，顾客会吃得较少和较快。收费一百，好些食客会因为价高而不光顾，但光顾的会吃得较多和较久。这也是上河定律。
前些时在这里发表了《讯息费用与类聚定律》，解释为什么在同一场所的卖笑佳人的相貌与身材都有相近的水平，很受读者欢迎。国内的网上读者很开心，纷纷要求我多写些前所未有的经济定律。他们可不知道，解释一个现象已困难，推出什么定律更是可遇不可求，就是无足轻重的也难于登天。
后来我发表《咸水草与淡水蟹》，其含意的定律是在竞争市场内，出售者一起欺骗与一起不骗的效果相同，可以称为「欺骗定律」。国内的学子读后说：「那么浅，不够过瘾！」
我是希望提升学子的求知兴趣的。很想知道他们对「上河定律」的评价。
（作者保留版权，转载请电邮 arcadia@ctimail3.com 洽商。）
张三李四：
没有考虑替代效应.排队的"价"越高,会去排队的人越少.
我是做医生的,对排队问题倒有一些自己的体会.
上个月,我被安排和一位资深大夫同诊室,结果他那里队越排越长,我这儿病人寥寥无几.后来我要求换了个诊室,和一位年资相近的医生一起,结果两个医生的排队长度始终相差无几.
在前一种情况下,医生的年龄被病人看作是质量的保证(尽管我自认为他水平比我差远了,也许是同行相轻吧,呵呵),因而排队的"价"也被看成是"质"的表示,向病人传递了某种信息.在这种情况下,价本身对效用有影响.
而后一种情况,价格的替代效用就是主要影响了.
当然这是题外话了.在张五常的例子里,没有替代品(清明上河图独此一家,别无分店),需求的价格弹性自然很低.
Ah_sa：
A common problem of Cheung is that he always mixes up an individual optimization model & an equilibrium model.
Queueing is about a group of agents, not one individual. So in this case, we want to build up an equilibrium model.
The question is : Can we build up a model with the feature Cheung mentioned?
Think about:
(1) what type of model should we use: static or dynamic?
(2) what type of equilibrium concept should we use?
(3) is queueing a fixed cost or a variable cost? how would it affect my decision?
(4) how can "排队的时间越长" implies "观者就多花时间欣赏" which again implies "这次不多欣赏此后再欣赏的时间成本预期也会是高的"?
(5) how can we derive an implication: "以图表曲线分析，纵轴为等候时间，横轴为排队人量，其二者的相关曲线不是直线一条，而是向右弧上：The curve is exponential"
If you think about the above questions thoroughly, you will find that it is very hard to get the model implication Cheung suggested.
张五常:"灵机一动，我想通了。" Unforyunately, it is not correct.
rongzhao：
We discussed this problem before.
I thought I have got a clear picture. Logically, there seems to be some problem with Steven Cheung's theorem. Unfortunately, his result is correct. My guess is Steven has mastered some way to go through the basic logic and grasp the final result.
I don't think he would make mistake so easily.
Ah_sa：
Note that there is a huge literature of Operations Research on Queueing Theory.
If someone is interested or think Cheung is correct, please try to build up a queueing model with Cheung's result.
My impression is that it is not as trivial as Cheung suggested.
BTW, we have strategic inter-dependence and need to apply something, say, like Game theoretical approach, for sure.
张三李四：
张五常先生的解释并没有令人满意倒可以称之为"定理"的程度.张先生说:"这次不多欣赏此后再欣赏的时间成本预期也会是高的。....他的意识是这次已付出的成本不算，再来也差不多要排队两个多小时。因此，上河定律仍然成立。"我不同意这种说法.
举个例子,我们做医生的晚上上手术台或者值夜班,医院会供应夜宵,免费且管够.但我从来都是吃够就行,决不会因为预期到明天的中午饭还得自己掏钱买而吃撑了自己.再吃效用就为负值了.
欣赏名画和吃饭一样,效用是不可储存的.我不相信观画者会考虑下次来看的成本.对看画者来说,轮到自己以后,看多长时间是无人干涉的,除了他本人的时间价值以外,也无需为了多看一会儿而额外支付代价.因此会看到看画的边际效用等于其时间价值为止.但决不会因为下次还要排队而迫使自己延长欣赏时间到净效用为负方止.
张五常先生描述的现象是事实,但使用通常的方法就可以解释,无需额外增添什么"定理".
为什么排队时间长了,每个人的欣赏时间会较平时为长?从上面的讨论我们可以得知,观众看画会持续到看画的边际效用等于其时间价值为止,也就是说,单个观众看画的时间取决于两个因素:他对该画的偏好程度和他的时间成本.
由于要看到清明上和图需支付排队之价,这一代价排除了很多对此不感兴趣和不太感兴趣的人士,也排除了时间成本很高的人,而保留下来的人平均每位看画时间较长也就不难理解了.
至于排队长度为多少,恐怕会是一个一般均衡问题,其长度反映了清明上河图的希缺性.
冒昧说一句:斑竹和rongzhao兄能不能用中文发言?英文实在看不懂.
Ah_sa：
以下是引用张三李四在2003-12-12 19:21:00的发言：
我不相信观画者会考虑下次来看的成本.对看画者来说,轮到自己以后,看多长时间是无人干涉的,除了他本人的时间价值以外,也无需为了多看一会儿而额外支付代价.因此会看到看画的边际效用等于其时间价值为止.但决不会因为下次还要排队而迫使自己延长欣赏时间到净效用为负方止.
这正是我指出的变动成本及固定成本的分别,下次排队的时间是固定成本,不会影向今
次欣赏时间与下次欣赏时间的相对价格,所以下次排队的时间成本增加不会对今次的
欣赏时间有边际上的影向(但视乎效用函数,"下次排队的时间成本增加"可以令今次
的欣赏时间有discrete jump)
Moreover, 问题主要关键是:
如何从"今次我多花时间欣赏"引申到"下次排队的时间成本增加"?
不容易建立一个均衡模型有此特徵
多看看：
排队等候的成本应该不是历史成本。
当一个人有耐心排在长长的队伍后面时，他一定期望得到一定的收益。队列前面有多少人，这对他而言是很清楚的，如果排队的收益不能补偿排队的成本，他完全可以选择不排队。成本-收益的比较在他决定排队与否时就已经完成了。当他终于站在队伍前面时，他或许会看较长时间，但较长的欣赏时间不是因为长时间的排队。恰恰相反，他愿意排排长长的队是因为要获取欣赏的愉悦。人不可能在排队之前不思考排队值不值得，等到排完队之后才决定要多多利用这次机会。在现实生活中，我们经常会见到有人望着长长的队伍说：“人太多了”。然后走开。这个走开的人就是认为排长队不值得。简而言之，清明上河图前排长队，每个人欣赏的时间比较长，就是因为它是清明上河图。
所以这就是一般的成本-收益比较，不用弄出什么上河定律。
张五常所构想的曲线也与现实不符。他之所以构想出这样的曲线，是认为欣赏时间是随排队者之前的人数而边际递增的。如果简化一下，把欣赏时间长短等同于收益，把排队时间等同于成本，这个结论也不成立。因为排队的情况和一般的购买商品不同，如果是一般的商品购买，出价最高的人自然是对商品的效用评价最高的人，这样价格的高低自然对应效用评价的高低，我们可以用价格（成本）来排序。如果套用到排队问题上，我们是否能说排队时间最长的人就是对这幅画评价最高的人呢？显然不成立。因为在他之前或许还有一位叫阿明的人对这幅画的评价更高，但阿明的运气好，他刚好排在了前面，所以他可以花费比他所愿意付的成本远低低的成本来欣赏这幅画。问题的关键在于一般商品的购买有买者在价格上的竞争，而排队的人之间不存在成本的竞争，因为排队的次序是预先决定了的，次序就已经决定了成本，这种成本无法竞争。简而言之，一个人在队列中的位置不等同于效用评价排序的序数。
Ah_sa：
一个排队的模型:
W1: 今次排队的时间成本
W2: 下次排队的时间成本
T1: 今次的欣赏时间
T2: 下次的欣赏时间
U(T1,T2): 效用函数
C(T1),C(T2):欣赏的时间成本
MAX U(T1,T2)-C(T1)-C(T2)-W1*X1-W2*X2
where
X1=0 if T1=0, X1=1 if T1>0
X2=0 if T2=0, X2=1 if T2>0
(A) CASE 1
If W1,W2 small
--> T1>0,T2>0
--> F.O.C.:
dU/dT1=C'(T1)
dU/dT2=C'(T2)
(B) CASE 2
If W1 small, W2 large
--> T1>0,T2=0
--> F.O.C.:
dU/dT1=C'(T1)
(C) CASE 3
If W1 large, W2 large
--> T1=0,T2>0
--> F.O.C.:
dU/dT2=C'(T2)
(D) CASE 4
If W1,W2 large
--> T1=0,T2=0
Conclusion:
(1) 下次排队的成本(W2)不会对今次的欣赏时间(T1)有边际上的影向
(2) 下次排队的成本(W2)可以令今次的欣赏时间有discrete jump
问题主要关键是:
如何从"今次我多花时间欣赏" (higher T1)引申到"下次排队的时间成本增加" (W2) ?
不容易建立一个均衡模型有此特徵
张三李四：
排队的成本是固定成本,和通常的固定成本一样,一旦投入就已经是沉没成本或曰历史成本了.
斑竹的模型很有意思,但我不明白何以"下次排队的成本(W2)可以令今次的欣赏时间有discrete jump"?在我看来,效用函数当独立于W2,而下次排队的成本又不是事先可以确知的,只能是一个预期.清明上河图展览不常有,消费者所拥有的当期信息就成了预期的主要参数.由此可见,不应该把W2看成一个外生变量
Ah_sa ：
以下是引用张三李四在2003-12-14 11:04:00的发言：
斑竹的模型很有意思,但我不明白何以"下次排队的成本(W2)可以令今次的欣赏时间有discrete jump"?
Consider: Max U(T1,T2)-C(T1)-C(T2)-W1*X1-W2*X2
EXAMPLE:
Suppose U(T1,T2)=U(T1+T2), C(T1)=T1, C(T2)=T2
(1) If W1=W2=0,
then T1=T2 and U'(T1+T2)=1
(2) If W1=0, but W2=infinity
then T2=0 and U'(T1)=1
When W2 increase from 0 to infinity, T1 doubles. (a discrete jump!)
(待续)
